Проблема Рэлея - Rayleigh problem

В гидродинамике Проблема Рэлея также известный как Первая проблема Стокса - задача определения потока, создаваемого внезапным движением бесконечно длинной пластины из состояния покоя, названной в честь Лорд Рэйли и Сэр Джордж Стоукс. Это считается одной из простейших нестационарных задач, имеющих точное решение для Уравнения Навье-Стокса. Импульсное движение полубесконечной пластины исследовал Кейт Стюартсон^[1].

Описание потока^[2][3]

Рассмотрим бесконечно длинную пластину, которая внезапно заставила двигаться с постоянной скоростью. ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle x}$ направление, которое находится в ${\displaystyle y=0}$ в бесконечной области жидкости, которая изначально везде находится в состоянии покоя. Несжимаемый Уравнения Навье-Стокса сократить до

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

куда ${\displaystyle \nu }$ это кинематическая вязкость. Начальный и условие противоскольжения на стене

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U,\quad u(\infty ,t>0)=0,}$

последнее условие связано с тем, что движение на ${\displaystyle y=0}$ не ощущается в бесконечности. Течение возникает только за счет движения пластины, градиент давления отсутствует.

Самоподобное решение^[4]

Задача в целом аналогична одномерной задаче теплопроводности. Следовательно, можно ввести автомодельную переменную

${\displaystyle \eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u}{U}}}$

Подставляя это уравнение в частных производных, сводит его к обыкновенному дифференциальному уравнению

${\displaystyle f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0}$

с граничными условиями

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

Решение указанной выше проблемы можно записать в терминах дополнительная функция ошибок

${\displaystyle u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)}$

Сила на единицу площади, действующая на пластину, равна

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}}$

Произвольное движение стены

Вместо использования ступенчатого граничного условия для движения стенки можно задать скорость стенки как произвольную функцию времени, т. Е. ${\displaystyle U=f(t)}$. Тогда решение дается^[5]

${\displaystyle u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y}{(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .}$

Задача Рэлея в цилиндрической геометрии

Вращающийся цилиндр

Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиуса ${\displaystyle a}$ внезапно начинает вращаться ${\displaystyle t=0}$ с угловой скоростью ${\displaystyle \Omega }$. Тогда скорость в ${\displaystyle \theta }$ направление дается

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {a\Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}}$

куда ${\displaystyle K_{1}}$ - модифицированная функция Бесселя второго рода. В качестве ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$решение приближается к твердому вихрю. Сила на единицу площади, действующая на цилиндр, равна

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2}}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega }$

куда ${\displaystyle I_{0}}$ - модифицированная функция Бесселя первого рода.

Скользящий цилиндр

Также доступно точное решение, когда цилиндр начинает скользить в осевом направлении с постоянной скоростью. ${\displaystyle U}$. Если считать, что ось цилиндра находится в ${\displaystyle x}$ направление, то решение дается формулой

${\displaystyle u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.}$

Смотрите также

• Проблема Стокса

Рекомендации

1. Стюартсон, К. Т. (1951). Об импульсном движении плоской пластины в вязкой жидкости. Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики, 4 (2), 182-198.
2. Бэтчелор, Джордж Кейт. Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета, 2000.
3. Лагерстрем, Пако Аксель. Теория ламинарного течения. Издательство Принстонского университета, 1996.
4. Ачесон, Дэвид Дж. Элементарная гидродинамика. Издательство Оксфордского университета, 1990.
5. Драйден, Хью Л., Фрэнсис Д. Мурнаган и Гарри Бейтман. Гидродинамика. Нью-Йорк: публикации Dover, 1956.